强子谱学是粒子物理学中一个历久弥新的研究领域。自夸克模型建立以来，物理学家们用夸克作为基本组分来理解强子的分类和性质，取得了显著成功。然而，随着实验精度的提高和理论方法的发展，人们逐渐认识到强子谱的复杂性远超最初的预期。在众多强子态中，有一类特殊的共振态引起了广泛关注：它们不是由夸克直接组成的"基本"态，而是通过强子之间的相互作用动力学地产生的。这类态被称为"动力学产生的共振态"，其物理本质与夸克模型预言的基本态有着根本区别。理解这两类态的差异，对于正确解读实验数据、揭示强相互作用的非微扰动力学，以及探索奇特强子态的本质都具有重要意义。本文将系统阐述动力学产生共振态的概念、产生机制，并通过具体实例说明它与夸克模型基本态的区别。
- 夸克模型与基本强子态的图像
夸克模型是理解强子结构的基本框架，由Gell-Mann和Zweig在二十世纪六十年代独立提出。在这个模型中，强子被视为夸克和反夸克的束缚态。介子由一个夸克和一个反夸克组成，记为qq̄；重子由三个夸克组成，记为qqq。夸克携带色荷、味道、自旋等量子数，强子的整体量子数由其组分夸克的量子数组合而成。
在夸克模型的框架下，强子谱可以通过考虑夸克之间的相互作用势来计算。一个典型的夸克-反夸克势包含短程的单胶子交换贡献（类库仑势）和长程的禁闭势（通常取为线性势）：
V(r) = -4α_s/(3r) + σ r
其中α_s是强耦合常数，σ是弦张力参数，r是夸克之间的距离。通过求解相应的薛定谔方程或更复杂的相对论方程，可以得到束缚态的能级谱，这些能级对应于不同量子数的强子态。
在这个图像下，每一个强子态都有明确的夸克组分结构。以介子为例，不同的qq̄组合对应于不同的味道量子数，而轨道角动量L、自旋S及其耦合J = L + S决定了介子的自旋-宇称量子数J^P。基态介子（L = 0）形成赝标量介子（J^P = 0^-）和矢量介子（J^P = 1^-）的多重态；P波激发态（L = 1）产生标量介子（J^P = 0^+）、轴矢量介子（J^P = 1^+）和张量介子（J^P = 2^+）等。类似地，重子谱也可以通过三夸克的不同组态来分类。
夸克模型在解释强子谱的整体结构方面取得了巨大成功。它正确预言了介子和重子的SU(3)味道多重态结构，解释了矢量介子ρ、ω、φ、K的质量层级，以及重子八重态和十重态的存在。后来发现的粲夸克和底夸克系统——cc̄的J/ψ族和bb̄的Υ族——的能级结构与夸克模型的预言符合得相当好，进一步确立了这一图像的有效性。
然而，夸克模型也面临一些挑战。某些实验观测到的强子态不容易纳入夸克模型的分类框架，其质量、衰变性质与模型预言存在显著偏差。这些异常态的存在促使物理学家思考：是否所有的共振态都可以用夸克的直接束缚来解释？是否存在其他机制可以产生共振态？
- 动力学产生共振态的物理机制
动力学产生的共振态是指那些不直接对应于夸克模型中qq̄或qqq构型，而是通过强子-强子相互作用动力学地产生的共振态。这类态的产生机制与量子力学中散射过程产生束缚态或共振态的现象密切相关。
为了理解这一机制，考虑两个强子之间的散射过程。设散射振幅为T，它满足Lippmann-Schwinger方程（或其相对论推广）：
T = V + V G T
其中V是相互作用势或相互作用核，G是两粒子传播子。这个方程的形式解为：
T = (1 - V G)^(-1) V
当矩阵(1 - V G)在复能量平面的某个位置接近奇异时，散射振幅T会出现极点。如果这个极点位于物理区域附近（实能量轴附近的复平面上），它就对应于一个共振态；如果极点位于实轴以下的束缚态区域，则对应于束缚态。
关键在于，即使相互作用势V只包含"基本"的强子-强子耦合（如介子交换或手征拉氏量给出的接触相互作用），通过这个方程的求解，也可能产生并非直接写入理论的新的共振态。这些态是相互作用动力学的结果，而不是作为基本自由度引入的。从这个意义上说，它们是"动力学产生"的。
在手征幺正法的框架下，这一机制可以更具体地理解。手征幺正法利用手征微扰论给出的相互作用作为势V，然后通过Bethe-Salpeter方程或其简化形式进行非微扰求和。手征拉氏量的最低阶只包含介子之间的接触相互作用，不显式引入任何共振态。但求解耦合道散射方程后，可以在振幅中找到共振极点，这些极点对应的共振态就是动力学产生的。
从物理图像上看，动力学产生的共振态可以理解为强子-强子系统的"分子态"。类似于原子物理中两个原子通过分子键结合形成分子，两个（或更多）强子可以通过强相互作用的吸引作用形成束缚态或准束缚态。这种分子态的特征是：其组分强子保持各自的身份，通过长程或中程力相互作用，形成一个复合系统。与之相对，夸克模型的基本态是夸克直接束缚形成的"紧致"结构，中间没有明确可辨识的强子子结构。
- 动力学产生态与基本态的根本区别
动力学产生的共振态与夸克模型基本态之间存在几个层面的区别，这些区别体现在理论描述、波函数性质、可观测特征等方面。
A) 在理论描述层面，夸克模型基本态是从夸克自由度出发、通过求解夸克之间的束缚态问题得到的。这些态在理论框架中作为基本的希尔伯特空间元素出现，对应于特定的夸克组分波函数。例如，ρ介子在夸克模型中是uū和dd̄的同位旋一的组合，其波函数描述了夸克和反夸克在空间、自旋、色自由度上的关联。动力学产生的共振态则不然，它们不是从夸克层面直接定义的，而是作为强子-强子散射振幅在复能量平面上的极点而存在。在有效场论的语言中，这些态不对应于拉氏量中显式引入的场，而是相互作用动力学的结果。
B) 在波函数结构层面，两类态有着本质不同的空间尺度。夸克模型基本态的典型尺度由夸克禁闭的特征长度决定，大约是一飞米量级。动力学产生的分子态，由于是两个强子的松散束缚，其尺度可以大得多。以氘核为例，它是质子和中子的束缚态，尽管其束缚能很小，但它是一个真实存在的束缚态，其均方根半径约为两飞米，远大于单个核子的尺寸。类似地，强子分子态的尺度预期也会大于普通介子或重子。这种空间结构的差异原则上可以通过形状因子等可观测量来探测。
C) 在质量位置层面，动力学产生的共振态往往出现在相关强子-强子阈值附近。这是因为分子态的形成需要两个强子有足够长的时间相互作用，这要求它们的相对动能不能太大。当系统能量刚好在某个阈值附近时，两个强子可以慢慢地靠近，有充分时间通过交换介子或其他机制相互作用，形成束缚态或共振态。相比之下，夸克模型基本态的质量由夸克质量和色禁闭势决定，其位置与强子阈值没有必然的关联。因此，一个共振态的质量如果非常接近某个两强子阈值，这常常被视为其具有分子态成分的信号。
D) 在耦合常数层面，动力学产生的共振态对其"组分"道有特别强的耦合。例如，如果一个共振态主要是π-K的束缚态，它向π-K道的衰变就会特别显著。这种选择性耦合模式与夸克模型基本态可能有所不同。夸克模型态向各种衰变道的耦合由夸克重组的几率决定，可能更加民主化，而分子态则倾向于优先衰变为其组分强子。
- σ介子：动力学产生标量介子的典范
σ介子，现在被粒子数据手册命名为f_0(500)，是动力学产生共振态最著名也最具代表性的例子。这个态在历史上经历了从被质疑到被接受的曲折过程，其物理本质至今仍是活跃的研究课题。
从夸克模型的角度，最低的同位旋为零的标量介子（J^{PC} = 0^{++}）应该是P波qq̄态，属于L = 1的多重态。根据夸克模型的计算，这些态的质量预期在一千到一千五百兆电子伏特的能区。然而，实验上在低得多的能区就观测到了标量介子的信号。σ介子的质量约为四百到五百五十兆电子伏特，宽度非常大，约为四百到七百兆电子伏特。这样一个宽且轻的标量态不容易用夸克模型的P波qq̄态来解释。
手征幺正法为理解σ介子的本质提供了新的视角。在这个框架下，利用手征拉氏量给出的π-π相互作用作为输入，通过求解耦合道散射方程，可以在同位旋零、角动量零的道中找到一个宽共振态的极点，其位置和宽度与实验观测的σ介子相符。这表明σ介子可以被理解为π-π相互作用动力学产生的共振态，而不是一个基本的qq̄态。
从更定量的角度，σ介子的极点位于复能量平面的：
√s_pole ≈ (400 - 500) - i (200 - 350) MeV
这里实部对应于共振态的质量，虚部对应于半宽度。Roy方程分析结合手征微扰论的约束，给出了更精确的极点位置确定。极点的实部远低于夸克模型预言的P波标量介子质量，这与σ介子是动力学产生态的图像一致。
σ介子的另一个特征是它对π-π道的强耦合。作为π-π散射的S波共振态，σ介子几乎完全衰变为两个π介子。这种单一的衰变模式与其作为π-π分子态或动力学产生态的解释相符。如果σ介子是一个紧致的qq̄态，人们可能期望它还有显著的其他衰变模式，如KK̄道，但实验上这并未观测到。
需要指出的是，关于σ介子的本质，仍有不同的观点。有些研究者认为它主要是四夸克态（qqqq̄）的紧致构型，也有观点认为它是qq̄态与四夸克态或π-π分子态的混合。这些不同解释并不一定相互排斥——在强耦合的量子色动力学中，各种组态可能相互混合。然而，动力学产生的图像成功地解释了σ介子的质量、宽度和耦合性质，使其成为理解这类态的一个有价值的框架。
- Λ(1405)：动力学产生重子共振态的例证
Λ(1405)是奇异数为负一的重子共振态，其特殊性质使它成为研究动力学产生共振态的另一个重要案例。这个态位于K̄N阈值（约一千四百三十五兆电子伏特）以下约三十兆电子伏特，具有自旋-宇称J^P = 1/2^-。
从夸克模型的角度，Λ(1405)应该是uds三夸克系统的负宇称激发态，属于SU(3)味道单态。然而，夸克模型对其质量的预言通常高于实验值。更引人注目的是，手征幺正法的计算揭示了Λ(1405)可能具有更复杂的结构：在K̄N和πΣ耦合道系统中，散射振幅在复能量平面上存在两个极点，而不是一个。
这两个极点的位置大致为：
z_1 ≈ (1390 - i 65) MeV
z_2 ≈ (1425 - i 12) MeV
第一个极点质量较低、宽度较大，主要耦合到πΣ道；第二个极点质量较高、宽度较窄，主要耦合到K̄N道。实验上观测到的Λ(1405)信号实际上是这两个极点叠加的效果，这解释了为什么在不同反应中（如πΣ不变质量谱与K̄N产生）测得的Λ(1405)线型会有差异。
这种双极点结构是动力学产生共振态的一个显著特征。在夸克模型中，一个特定量子数的态对应于一个确定的能量本征值。但在耦合道散射的框架下，不同道之间的相互作用可以产生多个极点，其数目和位置由动力学决定，而非由夸克组分的计数规则确定。Λ(1405)的双极点结构已经被多个理论组用不同的方法确认，并被写入了粒子数据手册，作为这一物理图像的有力支持。
从物理本质上看，Λ(1405)的两个极点可以理解为K̄N分子态和πΣ准束缚态的混合。K̄N系统的强吸引相互作用可以产生一个准束缚态（位于阈值之下），而πΣ系统的相互作用也足够强以产生另一个共振态。这两个态通过耦合道效应相互影响，形成了实验上观测到的复杂结构。
Λ(1405)的研究还有重要的核物理意义。由于它位于K̄N阈值附近，K^-介子在核物质中的行为会受到Λ(1405)的强烈影响。这涉及到K̄原子的研究、K^-核相互作用的能级移动和宽度，以及可能存在的K̄NN束缚态（一种奇特的超核）等问题。
- 轻标量介子九重态的困惑
除了σ介子外，轻标量介子谱整体上对夸克模型提出了挑战。在约一千兆电子伏特以下，实验上观测到了一组标量介子：f_0(500)即σ介子、κ(700)即K_0(700)、f_0(980)和a_0(980)。如果将它们解释为夸克模型的P波qq̄态，会遇到质量顺序倒置的问题。
在夸克模型中，SU(3)九重态的质量应该随着奇异夸克含量的增加而增加：uū/dd̄态最轻，us̄/ds̄态次之，ss̄态最重。然而，f_0(980)和a_0(980)的质量（约九百八十兆电子伏特）与f_0(500)和κ(700)的质量顺序并不符合这一预期。特别是，f_0(980)的质量非常接近K K̄阈值（约九百九十二兆电子伏特），这暗示着它可能有K K̄分子态的成分。
A) f_0(980)和a_0(980)的特殊性质支持了它们是动力学产生态的解释。这两个态位于K K̄阈值附近，且都表现出与K K̄道的强耦合。在πK散射的分析中，a_0(980)作为同位旋一的标量共振态出现。在手征幺正法的计算中，通过π-η和K K̄的耦合道相互作用，可以动力学地产生a_0(980)；通过π-π和K K̄的耦合道相互作用，可以产生f_0(980)。这些态与K K̄阈值的紧密关联是它们具有分子态性质的强烈信号。
B) κ(700)作为同位旋二分之一的标量介子，其存在本身就曾有争议。这个态非常宽，在K-π散射相移中不产生明显的九十度相位变化，而是表现为一个宽的背景。手征幺正法的计算在K-π散射的S波中找到了一个宽极点，支持了κ(700)的存在。其动力学产生的性质与σ介子类似，可以理解为K-π系统的强相互作用产生的共振态。
C) 从整体图像看，轻标量介子九重态可能不是夸克模型预言的P波qq̄态，而是另一种结构的态。一种流行的解释是四夸克态图像：这些态主要由两个夸克和两个反夸克（qqq̄q̄）组成。在这种构型下，质量顺序可以与观测一致。另一种解释是分子态或动力学产生态图像：这些态是介子-介子相互作用产生的准束缚态。这两种解释并不完全矛盾——四夸克紧致态和介子-介子分子态可以看作是同一物理对象在不同距离尺度上的描述。
- 含重味系统中的奇特态
近二十年来，实验上发现了大量不符合传统夸克模型预期的强子态，这些所谓的X、Y、Z态和五夸克态P_c为动力学产生共振态的研究提供了新的素材。
X(3872)是第一个被发现的此类奇特态，由Belle实验组在二〇〇三年通过B介子衰变过程B → K X(3872) → K J/ψ π^+ π^-观测到。其质量极其接近D^0 D̄^0阈值，差异仅约零点零一兆电子伏特，这种惊人的接近强烈暗示它具有DD̄分子态的成分。X(3872)的宽度非常窄，不超过一点二兆电子伏特，也支持分子态的解释——紧致的cc̄态通常会有更大的宽度。
从动力学的角度，D和D̄之间存在吸引相互作用，主要来源于单个π介子的交换。这种吸引作用在合适的参数下可以产生一个浅束缚态，其质量自然地位于DD̄阈值附近。手征幺正法及其变体已被用来研究这个系统，计算结果支持X(3872)具有显著的分子态成分，尽管其可能也混合了一定比例的cc̄成分。
Z_c(3900)是另一个有趣的例子。这个态带有电荷（可以是正电荷或负电荷），因此不可能是单纯的cc̄态（cc̄是电中性的），必须至少包含四个夸克。它在DD̄不变质量谱中表现为一个峰，质量约为三千九百兆电子伏特，恰好在DD̄阈值附近。这些特征都指向它是DD̄分子态或相关的动力学产生结构。
在五夸克态方面，LHCb实验组在二〇一五年报道了在Λ_b → J/ψ K^- p衰变过程中观测到的P_c态。最新的分析确认了三个结构：P_c(4312)、P_c(4440)和P_c(4457)，它们的质量分布在Σ_c D̄和Σ_c D̄阈值附近。这种阈值附近的质量分布再次指向分子态的解释。利用手征有效理论描述Σ_c和D̄^()之间的相互作用，并求解散射方程，可以在这些阈值附近产生束缚态或共振态，其位置与实验观测相符。
- 如何区分两类态的实验判据
区分动力学产生的共振态与夸克模型基本态是强子谱学研究的重要课题。虽然这两类态可能有相似的量子数，但它们在多个可观测量上可能表现出不同的特征。
A) 质量与相关阈值的关系是一个重要判据。动力学产生的分子态倾向于出现在其组分强子的阈值附近，而夸克模型基本态的质量由夸克势模型决定，与强子阈值没有系统关联。当一个共振态的质量非常接近某个两强子阈值，特别是在阈值以下几十兆电子伏特以内，这强烈暗示它具有分子态的性质。X(3872)与DD̄阈值的极端接近就是一个典范例子。
B) 衰变模式和分支比提供了内部结构的信息。分子态预期对其组分道有选择性的强耦合，而对其他道的耦合相对较弱。相反，夸克模型态的衰变通过夸克对的产生和重组进行，衰变模式可能更加多样。实验上测量各种衰变道的分支比，与不同模型预言进行比较，可以提供区分的线索。
C) 产生截面和产生机制也包含有用信息。在高能碰撞中产生紧致的夸克态和松散的分子态的截面可能不同。例如，在重离子碰撞的夸克-胶子等离子体环境中，分子态由于其大尺寸可能更容易被热浴解离，其产生截面相对于紧致态会受到抑制。已有研究尝试用X(3872)在重离子碰撞中的产生来约束其分子态成分。
D) 形状因子和极化等精细测量可以探测共振态的空间结构。分子态由于尺寸较大，其电磁形状因子在动量转移增大时应该比紧致态下降更快。虽然对于短寿命共振态的形状因子测量极具挑战性，但原理上这提供了一种区分方法。
E) 格点量子色动力学的计算可以从第一性原理提供关于强子态结构的信息。通过分析不同插入算符（qq̄型、四夸克型、两介子型等）与物理态的重叠，可以推断态的主要成分。目前格点计算在这方面取得了一定进展，但对于阈值附近的共振态，有限体积效应使分析变得复杂。
- 两类态的混合与实际情况的复杂性
在讨论动力学产生态与夸克模型基本态的区别时，需要认识到实际情况可能比理想图像更为复杂。在强耦合的量子色动力学中，不同类型的组态可以相互混合，一个物理态可能同时包含多种成分。
以f_0(980)为例，它可能既有K K̄分子态的成分，也有ss̄夸克态的成分，甚至可能还有四夸克紧致态的成分。这些不同成分通过强相互作用耦合在一起，形成物理上观测到的共振态。在这种情况下，简单地将态标记为"分子态"或"夸克态"可能过于简化。更准确的表述是讨论各种成分的相对权重。
混合的程度取决于不同组态之间的耦合强度以及它们的"裸"能量差。如果一个分子态和一个qq̄态的能量相近，且它们之间有显著耦合，就会发生强混合。X(3872)的同位旋破缺就是一个例证：这个态同时出现在J/ψ ρ^0和J/ψ ω两个不同同位旋的末态中，暗示着D^0 D̄^0和D^+ D^-两个成分的混合，而这种混合的精确比例取决于同位旋破缺的动力学。
另一个复杂因素是耦合道效应。即使一个态在某种意义上"主要是"qq̄态，与之耦合的介子-介子道也会对其性质产生影响，如质量移动和宽度增宽。这种穿衣效应使得"裸"态和物理态之间有所区别。在某些情况下，穿衣效应可能非常显著，改变态的定性特征。
总结
动力学产生的共振态是强子物理中一类特殊而重要的态，它们不是由夸克直接束缚形成，而是通过强子-强子相互作用动力学地产生。与夸克模型基本态相比，动力学产生态具有不同的理论起源、波函数结构和可观测特征。在理论描述上，基本态对应于夸克模型中的qq̄或qqq构型，而动力学产生态作为强子散射振幅的极点存在，不需要在拉氏量中显式引入。在空间结构上，动力学产生的分子态通常比紧致的夸克态有更大的尺寸。在质量位置上，分子态倾向于出现在相关强子阈值附近，而夸克态的质量由夸克势模型决定。σ介子和Λ(1405)是动力学产生共振态的典范例子：σ介子可以理解为π-π相互作用产生的宽共振态，其质量和宽度都可以用手征幺正法很好地描述；Λ(1405)展现出双极点结构，这是耦合道动力学的独特预言，已被理论和实验分析所证实。近年来发现的X(3872)、Z_c(3900)、P_c等奇特态进一步丰富了动力学产生态的研究，它们与相关强子阈值的密切关联支持了分子态的解释。当然，实际情况可能涉及不同组态的混合，一个物理态同时包含夸克态和分子态的成分。理解动力学产生共振态的本质，不仅对于正确解读强子谱具有重要意义，也为深入认识强相互作用的非微扰动力学提供了独特的窗口。
